Exercices corrigés : Factorisation d'un polynôme de degré 2

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Résumé de cours : Factorisation d'un polynôme de degré 2

1. Introduction

Un polynôme de degré 2, aussi appelé trinôme du second degré, est une expression algébrique de la forme \( ax^2 + bx + c \) où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \). La factorisation de ces trinômes est une compétence essentielle en algèbre.

2. Forme factorisée

La forme factorisée d'un trinôme du second degré est donnée par :

\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

où \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les racines du trinôme.

3. Méthode de factorisation

La factorisation d'un trinôme du second degré s'appuie sur la recherche de ses racines. Si le trinôme admet deux racines réelles distinctes, alors il peut être factorisé comme le produit de deux binômes de premier degré.

4. Exemples

Exemple 1 : Factoriser \( x^2 - 5x + 6 \).

Solution :

Les racines du trinôme sont \( x_1 = 2 \) et \( x_2 = 3 \). Ainsi, la factorisation est :

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

5. Exercices

1. Factoriser \( x^2 - 3x + 2 \).

2. Factoriser \( x^2 + 4x + 4 \).

3. Factoriser \( x^2 - x - 6 \).

4. Factoriser \( x^2 + 6x + 9 \).

5. Factoriser \( x^2 - 4 \).

6. Factoriser \( x^2 - 2x - 8 \).

7. Factoriser \( x^2 + 8x + 16 \).

6. Solutions

1. \( x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \)

2. \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)

3. \( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \)

4. \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)

5. \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

6. \( x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \)

7. \( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \)

7. Conseils et erreurs à éviter

• Assurez-vous toujours que le coefficient de \( x^2 \) est différent de zéro.
• Si le discriminant est négatif, le trinôme n'admet pas de racines réelles et ne peut donc pas être factorisé dans l'ensemble des nombres réels.
• Ne confondez pas la factorisation avec l'expansion.

8. FAQ

1. Qu'est-ce qu'un trinôme du second degré ?

   C'est une expression algébrique de la forme \( ax^2 + bx + c \) où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \).

2. Comment trouver les racines d'un trinôme ?

   On utilise généralement la formule quadratique ou le discriminant pour trouver les racines.

3. Est-ce que tous les trinômes peuvent être factorisés ?

   Non, seulement ceux dont le discriminant est non négatif peuvent être factorisés dans l'ensemble des nombres réels.