Exercices corrigés : Tableau de variation de fonction

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Résumé de cours : Tableau de variation de fonction

1. Le tableau de variation : qu'est-ce que c'est ?

En mathématiques, le tableau de variation est un outil graphique précieux qui donne une vision claire des tendances d'une fonction sur un intervalle donné.

2. L'utilité du tableau de variation

Cet outil est essentiel pour :

• Comprendre rapidement le comportement d'une fonction.
• Détecter les points hauts et bas d'une fonction.
• Faciliter la résolution de problèmes complexes.

3. La construction du tableau

Construire un tableau de variation est un processus en plusieurs étapes :

1. Choisir le domaine d'étude.
2. Repérer les points critiques en utilisant la dérivée.
3. Déterminer les tendances de la fonction entre ces points.
4. Compléter le tableau avec ces informations.

4. L'art de la lecture du tableau

Le tableau de variation est structuré en deux parties :

• L'axe des abscisses, généralement représenté par \( x \).
• Les valeurs de la fonction, souvent notées \( f(x) \).

Les symboles \( \uparrow \) et \( \downarrow \) indiquent respectivement les phases de croissance et de décroissance de la fonction.

5. De la théorie à la pratique : tracer une courbe

Le tableau de variation est la clé pour dessiner une courbe représentative d'une fonction. Il fournit toutes les informations nécessaires pour représenter graphiquement la fonction.

6. Inversion du processus : du graphique au tableau

Il est tout à fait possible, et parfois nécessaire, de procéder dans le sens inverse : partir d'une courbe graphique pour en déduire son tableau de variation. Cette démarche est particulièrement utile lorsque l'on dispose d'une représentation graphique sans avoir accès à l'expression mathématique de la fonction. Voici comment procéder :

a. Identification des points caractéristiques

Commencez par repérer sur la courbe :

• Les points hauts (maxima locaux) et bas (minima locaux).
• Les points où la courbe coupe l'axe des abscisses (les zéros de la fonction).
• Les points d'inflexion, où la courbe change de concavité.

b. Analyse des variations

Observez la courbe entre ces points caractéristiques :

• Si la courbe monte, la fonction est croissante.
• Si la courbe descend, la fonction est décroissante.

c. Construction du tableau

Sur la première ligne de votre tableau, placez les points caractéristiques que vous avez identifiés sur l'axe des abscisses. Sur la seconde ligne, indiquez les valeurs correspondantes de la fonction (si elles sont connues ou peuvent être estimées).

Entre ces points, indiquez les variations de la fonction à l'aide des symboles \( \uparrow \) (pour croissant) et \( \downarrow \) (pour décroissant).

d. Vérification

Assurez-vous que votre tableau est cohérent avec la courbe. Par exemple, si vous avez identifié un maximum local sur la courbe, assurez-vous que votre tableau montre une variation croissante avant ce point et décroissante après.

En suivant ces étapes, vous serez en mesure de transcrire fidèlement les informations d'une courbe graphique dans un tableau de variation, offrant ainsi une autre perspective sur le comportement de la fonction.

7. Astuces et pièges à éviter

• Ne pas confondre zéros de la fonction et points où la dérivée est nulle.
• Veiller à bien analyser la fonction sur tout l'intervalle d'étude.
• Ne pas négliger les valeurs aux extrémités de l'intervalle.